有限元法與有限體積法相結(jié)合處理運(yùn)動(dòng)電磁問(wèn)題

甘 艷，阮江軍，張 宇 (武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院，湖北省 武漢市 430072)
Combining the Finite Element Method and the Finite Volume Method in Motion Problem Simulation

GAN Yan, RUAN Jiang-jun, ZHANG Yu (Electrical Engineering School, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei Province, China)

ABSTRACT: A novel method which combining the finite element method(FEM) and the finite volume method(FVM) are adopted to deal with electromagnetic field problems in moving media. The characteristic of the control equation which governing the motion problem is that the equation contains second order elliptic terms and the first order terms with large coefficients, namely, the diffusion term and the convection term. Difficulties in numerical analysis are resulting from the discrete of the convection part. Error estimation of the discrete format of the general Galerkin FEM was analyzed. Solutions by Galerkin FEM contain spurious oscillations under high Peclet number. Considering the advantages of the FEM and FVM, these two methods were combined in solving the convection-diffusion equation. The diffusion term of the equation was discreted by FEM, while the convection term could be treated by FVM. Upwind schemes help to remove spurious oscillations that occur in the solution of convection-diffusion equation. The validity and the efficiency of this method were testified by the comparison of analytic solution and numerical solution. Meanwhile, a simple motion model was analyzed by this method. The results show that the proposed method is superior in analyzing the motion problem.

KEY WORDS: control equation; convection-diffusion equation; convection-dominated; Galerkin finite element method; finite volume method; dual mesh; upwind coefficient
摘要：提出了應(yīng)用有限元法與有限體積法相結(jié)合處理運(yùn)動(dòng)電磁問(wèn)題。運(yùn)動(dòng)電磁問(wèn)題控制方程的特性是方程中不僅有二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，還含有一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)很大。處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何離散一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。闡明一般Galerkin 有限元法離散格式的誤差估計(jì)，說(shuō)明一般Galerkin有限元法處理對(duì)流占優(yōu)型對(duì)流擴(kuò)散方程時(shí)解的不穩(wěn)定性，當(dāng)局部Peclet 數(shù)較大時(shí)，Galerkin有限元法求解會(huì)使結(jié)果產(chǎn)生明顯的振蕩。在比較了有限元法與有限體積法各自?xún)?yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上提出將這2種方法相結(jié)合處理運(yùn)動(dòng)電磁問(wèn)題，同時(shí)，在對(duì)流項(xiàng)的處理中還引入了迎風(fēng)格式以消除數(shù)值解的振蕩。對(duì)簡(jiǎn)單的一維問(wèn)題分別應(yīng)用解析法和數(shù)值法計(jì)算，從而說(shuō)明了文中提出的方法的正確性和高效性。應(yīng)用該文方法計(jì)算了一個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，結(jié)果表明這種方法可以很好地處理運(yùn)動(dòng)電磁問(wèn)題。
關(guān)鍵詞：控制方程；對(duì)流擴(kuò)散方程；對(duì)流占優(yōu)；Galerkin有限元法；有限體積法；對(duì)偶剖分；迎風(fēng)系數(shù)

0 引言
目前，場(chǎng)域內(nèi)介質(zhì)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中遇到的一個(gè)重要問(wèn)題。在分析這些問(wèn)題時(shí)，要考慮因運(yùn)動(dòng)引起的切割電勢(shì)。解決這類(lèi)問(wèn)題
的難點(diǎn)主要有2 個(gè)方面：如何解決數(shù)值解的振蕩問(wèn)題以及如何處理介質(zhì)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)使得有限元剖分網(wǎng)格發(fā)生變化的問(wèn)題[1-3]。目前，討論介質(zhì)間相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的網(wǎng)格處理方面的文獻(xiàn)較多，關(guān)于數(shù)值解振
蕩的問(wèn)題也已展開(kāi)了廣泛的研究，并取得了一定的成果。對(duì)于數(shù)值解的振蕩問(wèn)題已達(dá)成的共識(shí)是：通過(guò)其它的方式將速度因子V融合到剛度矩陣中，避免出現(xiàn)矢量位函數(shù)A對(duì)空間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)[1]提出了消除數(shù)值解失真振蕩的迎風(fēng)有限元思想，這種處理方法的思想是通過(guò)對(duì)權(quán)函數(shù)的修正[4-5]、或高斯積分點(diǎn)的偏移[6]使得有限元方程獲得穩(wěn)定的數(shù)值解。但是隨著導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度的增加，系數(shù)矩陣中速度項(xiàng)所占比例逐漸增大，從而導(dǎo)致對(duì)角線元素逐漸減小，甚至?xí)?dǎo)致系數(shù)矩陣失去“主元占優(yōu)”的特性。而且，修正權(quán)函數(shù)的方法會(huì)使計(jì)算量大大增加，偏移高斯積分點(diǎn)的方法對(duì)于三角形單元不適用。當(dāng)控制方程中沒(méi)有對(duì)流項(xiàng)時(shí)，用有限元法求解的穩(wěn)定性是可以保證的，導(dǎo)致數(shù)值解不穩(wěn)定的原因是對(duì)流項(xiàng)的處理方法不妥，那么是否可以將對(duì)流項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)分開(kāi)處理，用常規(guī)的有限元法處理擴(kuò)散項(xiàng)，而用其他的方法來(lái)離散對(duì)流項(xiàng)，當(dāng)然，離散對(duì)流項(xiàng)的方法應(yīng)該保證對(duì)對(duì)流項(xiàng)處理的穩(wěn)定性。本文提出了將有限元法與引入迎風(fēng)思想的有限體積法相結(jié)合處理運(yùn)動(dòng)電磁問(wèn)題，用常規(guī)有限元法處理控制方程中的擴(kuò)散項(xiàng)而用引入迎風(fēng)思想的有限體積法處理對(duì)流項(xiàng)。這種方法在不增加計(jì)算量的前提下保證了計(jì)算精度，消除了數(shù)值解的振蕩。
1 控制方程的特性
2 Galerkin 有限元處理運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)解的不穩(wěn)定性分析
在求解對(duì)流占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散方程時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的
Galerkin 有限元格式是不穩(wěn)定的[7]。為討論方便，以二階線性常微分方程第一邊值問(wèn)題為例討論標(biāo)
準(zhǔn)的Galerkin有限元格式解對(duì)流占優(yōu)型的對(duì)流擴(kuò)散方程時(shí)解的誤差估計(jì)。

3 有限體積法
3.1 有限體積法基本原理
有限體積法在對(duì)求解區(qū)域作有限剖分后，將原方程在某個(gè)子域上積分，應(yīng)用Gauss定理將散度的積分轉(zhuǎn)化為子域邊界上的積分而后選取適當(dāng)?shù)挠邢蘧S試探函數(shù)空間，在該子空間上離散含子域邊界積分的方程，通過(guò)引入以Reimann問(wèn)題近似解為基礎(chǔ)的數(shù)值流通量從而導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算格式。
就離散方法而言，有限體積法可視為有限元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定待求量在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律(插值函數(shù))，并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格上待求量的數(shù)值而不考慮其在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定待求量在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這與有限單元法相類(lèi)似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分，而且對(duì)微分方程中不同的項(xiàng)可以采用不同的插值函數(shù)[8]。
有限體積法的具體實(shí)施步驟是：將計(jì)算區(qū)域均分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周?chē)幸粋€(gè)控制體積；將待解的微分方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分得出1 組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的待求量數(shù)值。為了求出控制體的積分，必須假定待求量在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律(插值規(guī)律)。有限體積法得出的離散方程，要求待求量的積分守恒在任意1 組控制體積都得到滿(mǎn)足，對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域，自然也得到滿(mǎn)足。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格足夠細(xì)密時(shí)，離散方程才滿(mǎn)足積分守恒，而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。
有限體積法從物理的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題，每一個(gè)離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式。其推導(dǎo)過(guò)程物理概念清晰，離散方程的系數(shù)具有一定的物理意義，并可以保證離散方程具有守恒特性。同時(shí)，有限體積法將網(wǎng)格劃分和節(jié)點(diǎn)布置分開(kāi)帶來(lái)了幾何靈活性，它允許網(wǎng)格與控制體不一致，從而帶來(lái)定義離散運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的靈活性。但有限體積法不能象有限元法那樣利用弱解的概念使二階導(dǎo)數(shù)降階[8]，其對(duì)邊界的處理不如有限元法方便。
有限體積法從積分守恒形式出發(fā)，將散度的積分化為子域邊界積分后再離散，數(shù)值解滿(mǎn)足離散守恒律，而且可以采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，所以在計(jì)算物理，計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算傳熱學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[9-12]。20 世紀(jì)80 年代以來(lái)，由于自適應(yīng)算法和無(wú)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù)的發(fā)展，有限體積法得到了更長(zhǎng)足的進(jìn)步，在處理大變形和各種復(fù)雜流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的能力，以及在方法的精度和收斂性的理論研究方面都有了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。
有限元法對(duì)應(yīng)于能量方法，自然地導(dǎo)出擴(kuò)散問(wèn)題的單元離散方法。有限體積法從積分守恒形式出發(fā)，反映出物理量的守恒規(guī)律。把這2 種方法相結(jié)合，充分發(fā)揮各自的特點(diǎn)，對(duì)流項(xiàng)用有限體積法逼近，而擴(kuò)散項(xiàng)用有限元法離散可以更好地求解對(duì)流占優(yōu)型的對(duì)流擴(kuò)散方程。

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3.2 應(yīng)用有限體積法離散控制方程中的對(duì)流項(xiàng)
3.2.1 控制方程離散的思想
M.Feistauer 將非線性對(duì)流項(xiàng)用數(shù)值通量逼近，擴(kuò)散項(xiàng)利用Galerkin有限元方法離散，更好地求解了具有初邊值條件的對(duì)流擴(kuò)散方程，證明了一種半隱式有限體積–有限元方法離散格式求解二維非線性拋物型對(duì)流擴(kuò)散方程的收斂性并給出了誤差估計(jì)結(jié)果[13-15]。引用這種思想，將方程式(1)中的對(duì)流項(xiàng)用有限體積法的思想離散，擴(kuò)散項(xiàng)則由Galerkin 有限元方法離散。將對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)離散后所得到的剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)疊加從而形成總體剛度矩陣。
3.2.2 對(duì)偶剖分
3.2.3 有限體積法的離散過(guò)程
3.2.4 迎風(fēng)思想的引入
4 方法的比較
4.1 比較對(duì)象
為論述方便，討論一個(gè)簡(jiǎn)單的一維問(wèn)題，分別用解析法，有限元法和本文提出的方法來(lái)分析。
4.2 有限元法
4.2.1 Galerkin有限元法
4.2.2 迎風(fēng)有限元法
4.3 有限元法與引入迎風(fēng)思想的有限體積法
4.4 方法的比較

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